Точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции свойства. Диагонали трапеции

Прочее

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения - подобны
Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции - равновеликие (имеют одинаковую площадь)
Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b - основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции - являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными - они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это - треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b - основания трапеции

c, d - боковые стороны трапеции

d1 d2 - диагонали трапеции

α β - углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа - задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам - AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая - то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK - прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Треугольники DBM и ACK - прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 - b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b - основания трапеции, h - высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 - МЕТ = 180 0 - КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

обучающая – ввести понятие трапеции, познакомиться с видами трапеций, изучить свойства трапеции, научить учащихся применять полученные знания в процессе решения задач;
развивающая – развитие коммуникативных качеств учащихся, развитие умения проводить эксперимент, обобщать, делать выводы, развитие интереса к предмету.
воспитательная – воспитывать внимание, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей, развить у учащихся потребность в самовыражении через различные виды работ.

Формы работы: фронтальная, парная, групповая.

Форма организации деятельности детей: умение слушать, строить обсуждение, высказывать мысль, вопрос, дополнение.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран. На ученических столах: разрезной материал для составления трапеции у каждого ученика на парте; карточки с заданиями (распечатки чертежей и заданий из конспекта урока).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Приветствие, проверка готовности рабочего места к уроку.

II. Актуализация знаний

развитие умений классифицировать объекты;
выделение главных и второстепенных признаков при классификации.

Рассматривается рисунок №1.

Далее идёт обсуждение рисунка.
– Из чего составлена данная геометрическая фигура? Ответ ребята находят на рисунках: [из прямоугольника и треугольников].
– Какими должны быть треугольники, составляющие трапецию?
Выслушиваются и обсуждаются все мнения, выбирается один вариант: [треугольники должны быть обязательно прямоугольными].
– Как составляются треугольники и прямоугольник? [Так, чтобы противоположные стороны прямоугольника совпадали с катетом каждого из треугольников].
– А что вы знаете о противоположных сторонах прямоугольника? [Они параллельны].
– Значит, и в данном четырёхугольнике будут параллельные стороны? [Да].
– Сколько их? [Две].
После обсуждения учитель демонстрирует «королеву урока» - трапецию.

III. Объяснение нового материала

1. Определение трапеции, элементы трапеции

научить учащихся давать определение трапеции;
называть ее элементы;
развитие ассоциативной памяти.

– А теперь попробуйте дать полное определение трапеции. Каждый учащийся продумывает ответ на вопрос. Обмениваются мнениями в паре, готовят единый ответ на вопрос. Устный ответ дают по одному учащемуся от 2-3 пар.
[Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны].

– Как называются стороны трапеции? [Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие – боковыми сторонами].

Учитель предлагает сложить из разрезных фигур трапеции. Учащиеся работают в парах, складывают фигуры. Хорошо, если пары учащихся будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает товарищу в случае затруднения.

– Постройте в тетрадях трапецию, запишите названия сторон трапеции. Задайте вопросы по чертежу своему соседу, выслушайте его ответы, сообщите свои варианты ответов.

Историческая справка

«Трапеция» – слово греческое, означавшее в древности «столик» (по гречески «трапедзион» означает столик, обеденный стол. Геометрическая фигура была названа так по внешнему сходству с маленьким столом.
В «Началах» (греч. Στοιχεῖα, лат. Elementa) - главный труд Евклида, написанный около 300 г. до н. э. и посвящённый систематическому построению геометрии) термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречаются впервые у древнегреческого математика Посидония (Iв.). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в XVIIIв. это слово приобретает современный смысл.

Построение трапеции по её заданным элементам. Ребята выполняют задания на карточке №1.

Учащимся приходится конструировать трапеции самых разных расположений и начертаний. В пункте 1 необходимо построить прямоугольную трапецию. В пункте 2 появляется возможность построить равнобедренную трапецию. В пункте 3 трапеция окажется «лежащей на боку». В пункте 4 рисунок предусматривают построение такой трапеции, у которой одно из оснований оказывается непривычно маленьким.
Ученики «удивляют» учителя разными фигурами, носящими одно общее название – трапеция. Учитель демонстрирует возможные варианты построения трапеций.

Задача 1 . Будут ли равны две трапеции, у которых соответственно равны одно из оснований и две боковые стороны?
Обсуждают решение задачи в группах, доказывают правильность рассуждения.
По одному ученику от группы выполняет чертёж на доске, объясняет ход рассуждений.

2. Виды трапеции

развитие двигательной памяти, умений разбивать трапецию на известные фигуры, необходимые для решения задач;
развитие умений обобщать, сравнивать, давать определение по аналогии, выдвигать гипотезы.

Рассмотрим рисунок:

– Чем отличаются трапеции, изображённые на рисунке?
Ребята заметили, что вид трапеции зависит от вида треугольника, расположенного слева.
– Дополните предложение:

Трапеция называется прямоугольной, если …
Трапеция называется равнобедренной, если …

3. Свойства трапеции. Свойства равнобедренной трапеции.

выдвижение по аналогии с равнобедренным треугольником гипотезы о свойстве равнобедренной трапеции;
развитие аналитических умений (сравнивать, выдвигать гипотезу, доказывать, строить).

Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
У равнобедренной трапеции диагонали равны.
У равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой – полуразности оснований.

Задача 2. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны. Для доказательства этих свойств равнобедренной трапеции вспоминаются признаки равенства треугольников. Учащиеся выполняют задание в группах, обсуждают, записывают решение в тетради.
По одному ученику от группы проводят доказательство у доски.

4. Упражнение на внимание

5. Примеры применения форм трапеций в повседневной жизни:

в интерьерах (диваны, стены, навесные потолки);
в ландшафтном дизайне (границы газонов, искусственных водоемов, камней);
в индустрии моды (одежда, обувь, аксессуары);
в дизайне предметов повседневного пользования (светильники, посуда, с использованием форм трапеции);
в архитектуре.

Практическая работа (по вариантам).

– В одной системе координат постройте равнобедренные трапеции по заданным трём вершинам.

1 вариант: (0; 1), (0; 6), (– 4; 2), (…; …) и (– 6; – 5), (4; – 5), (– 4; – 3), (…; …).
2 вариант: (– 1; 0), (4; 0), (6; 5), (…; …) и (1; – 2), (4; – 3), (4; – 7), (…; …).

– Определите координаты четвёртой вершины.
Решение проверяется и комментируется всем классом. Учащиеся указывают координаты четвёртой найденной точки и устно пытаются объяснить, почему заданные условия определяют только одну точку.

Занимательная задача. Сложить трапецию из: а) четырёх прямоугольных треугольников; б) из трёх прямоугольных треугольников; в) из двух прямоугольных треугольников.

IV. Домашнее задание

воспитание правильной самооценки;
создание ситуации “успеха” для каждого ученика.

п.44, знать определение, элементы трапеции, ее виды, знать свойства трапеции, уметь их доказывать, №388, №390.

V. Итог урока. В конце урока даётся ребятам анкета, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку.

Определение

Трапеция - это четырехугольник $A B C D$, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны (рис. 1).

Параллельные стороны трапеции ($B C$ и $A D$) называются основаниями трапеции , а не параллельные ($A B$ и $C D$) - боковыми сторонами . Перпендикуляр ($B H$), проведенный из любой точки одного основание к другому основанию или его продолжению называется высотой трапеции.

Свойство трапеции

Сумма углов прилежащих, прилежащих к боковой стороне равна $180^{\circ}$:

$\angle A+\angle B=180^{\circ}, \angle C+\angle D=180^{\circ}$ (рис 1)

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

$$M N=\frac{A D+B C}{2}$$

Среди всех трапеций можно выбрать два особых класса трапеций: прямоугольные и равнобокие трапеции.

Определение

Прямоугольной называется трапеция, у которой один из углов прямой.

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции

В равнобокой трапеции углы при основании попарно равны $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$.
Диагонали равнобокой трапеции равны $A C=B D$.

Признаки равнобокой трапеции

Если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Если в трапеции диагонали равны, то она равнобокая.

Площадь трапеции:

$$S=\frac{a+b}{2} \cdot h$$

где $a$ и $b$ - основания трапеции, а $h$ - ее высота.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Высота равнобокой трапеции, проведенная из тупого угла, делит основание на отрезки длиной 5 см и 11 см. Найти периметр трапеции, если её высота равна 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)

$ABCD$ - равнобокая трапеция, $BH$ - высота, $BH = 12$ см, $AH = 5$ см, $HD = 11$ см.

Рассмотрим $\Delta A B H$, он прямоугольный ($\angle H=90^{\circ}$). По теореме Пифагора

$$A B=\sqrt{B H^{2}+A H^{2}}$$

подставляя исходные данные, получим

$A B=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$

$A B=\sqrt{144+25}=\sqrt{169} \Rightarrow A B=13$ (см)

Так как трапеция $A B C D$ равнобокая, то её боковые стороны равны: $A B=C D=13$ см. Большее основание трапеции равно: $A D=A H+H D$, $A D=5+11=16$ (см). Меньшее основание трапеции будет равно: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (см). Периметр трапеции равен:

$P_{A B C D}=A B+B C+C D+A D$

$P_{A B C D}=13+6+13+16$

$P_{A B C D}=48$ (см)

Ответ. $P_{A B C D}=48$ см

Пример

Задание. В прямоугольной трапеции две меньшие стороны равны 2 дм, а один из углов $45^{\circ}$. Найти площадь трапеции.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

$K L M N$ - прямоугольная трапеция, $K L=L M=2$ дм, $L K \perp K N$, $\angle M L K=45^{\circ}$. Из вершины $M$ опустим высоту $MP$ на основание $KN$. Рассмотрим $\Delta M N P$, он прямоугольный ($\angle M P N=90^{\circ}$). Так как $\angle M L K=45^{\circ}$, то

$\angle N M P=180^{\circ}-\angle M P N-\angle M L K$

$\angle N M P=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

Таким образом, $\angle M L K=\angle N M P$ и $\Delta M N P$ еще и равнобедренный. Следовательно, $M P=P N$. Так как $L K=M P=2$ дм, следовательно и $P N=2$ дм. Большее основание $K N=K P+P N$, так как $L M=K P$, получим $K N=2+2=4$ (дм).

Площадь трапеции вычислим по формуле: