Моделирование случайных событий. Разыгрывание дискретных случайных величин Разыгрывание дискретной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0,1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны (см. гл. XII, § 1, замечание 3):

M (R )= 1/2, (*)

D (R )= 1/2. (**)

Составим сумму п независимых, распределенных рав­номерно в интервале (0,1) случайных величин R j (j =1, 2, ...,n):

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы слу­чайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма (***) содержит п слагаемых, матема­тическое ожидание каждого из которых в силу (*) равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы (*** )

Известно, что дисперсия суммы независимых случай­ных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма (***) содержит n независимых слагаемых, дисперсия каж­дого из которых в силу (**) равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы (***)

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы (***)

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего выч­тем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение:

В силу центральной предельной теоремы при п→∞ распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а= 0 и σ=1. При конечном п распределение прибли­женно нормальное. В частности, при п = 12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение

Правило. Для того чтобы разыграть возможное зна­чение x i нормальной случайной величины Х с парамет­рами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых слу­чайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:

Пример, а) Разыграть 100 возможных значений нормальной вели­чины Х с параметрами а=0 и σ=1; б) оценить параметры разыг­ранной величины.

Решение. а) Выберем 12 случайных чисел из первой строки таблицы *) , сложимих и из полученной суммы вычтем 6; в итоге имеем

x i =(0,10+0,09+...+0,67) - 6= - 0,99.

Аналогично, выбирая из каждой следующей строки таблицы пер­вые 12 чисел, найдем остальные возможные значения X.

б) Выполнив расчеты, получим искомые оценки:

Оценки удовлетворительные: а* близко к нулю, σ* мало отличается от единицы.

Замечание. Если требуется разыграть возможное значение z i , нормальной случайной величины Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ , то, разыграв по пра­вилу настоящего параграфа возможное значение x i , находят искомое возможное значение по формуле

z i =σx i +a.

Эта формула получена из соотношения (z i -a )/σ=x i .

Задачи

1. Разыграть 6 значений дискретной случайной величины X, закон распределения которой задан в виде таблицы

X		3,2
p	0,18	0,24	0,58

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,73; 0,75; 0,54; 0,08; 0,28; 0,53. Отв. 10; 10; 10; 2; 3; 22; 10.

2. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,52.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0;28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А, , .

3. Заданы вероятности трех событий, образующих полную группу: Р (А 1)=0,20, Р (А 2)=0,32, Р (А 3 )= 0,48. Разыграть 6 испытаний, в каждом из которых появляется одно из заданных событий.

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,77; 0,19; 0,21; 0,51; 0,99; 0,33.

Отв. А 3 , А 1 , А 2 , А 2 , А 3 , А 2 .

4. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испы­таний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,5, а события В- 0,8.

А 1 =АВ , для определенности принять случайные числа: 0,34; 0,41; 0,48; 0,21; 0,57.

Отв. А 1 , А 2 , А 2 , А 1 , А 3 .

5. События А, В, С независимы и совместны. Разыграть 4 испы­тания в каждом из которых вероятности появления событий заданы: Р (А )= 0,4, Р (В )= 0,6, Р (С )= 0,5.

Указание. Составить полную группу событий: для определенности принять, что выбраны случайные числа: 0,075; 0,907; 0,401; 0,344.

Отв.А 1 , А 8 , А 4 , А 4 .

6. События А и В зависимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых заданы вероятности: Р (А )=0,7, Р (В )=0,6, Р (АВ )=0,4.

Указание. Составить полную группу событий: А 1 =АВ , для определенности принять случайные числа: 0,28; 0,53; 0,91; 0,89.

Отв. А 1 , А 2 , А 4 , А 3 .

7. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону и задана функцией распределения F (х )= 1 - е -10 x .

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,67; 0,79; 0,91.

Отв. 0,04; 0,02; 0,009.

8. Разыграть 4 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (6,14).

Указание. Для определенности принять, что выбраны слу­чайные числа: 0,11: 0,04; 0,61; 0,93.

Отв. 6,88; 6,32; 10,88; 13,44.

9. Найти методом суперпозиции явные формулы для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной функцией рас­пределения

F (x )=1- (1/3)(2е- 2 x +е -3 x:), 0<х <∞.

Отв. х= - (1/2)1п r 2 , если r 1 < 2/3; х = - (1/3)1п r 2 , если r 1 ≥2/3.

10. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной слу­чайной величины X, заданной плотностью вероятности f (х )=b /(1 +ax ) 2 в интервале 0≤x ≤1/(b-a ); вне этого интервала f(x)=0.

Отв. х i = - r i /(b - ar i ).

11. Разыграть 2 возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а =0, σ =1; б) а =2, σ =3.

Указание. Для определенности принять случайные числа (далее указано число сотых долей; например, числу 74 соответствует слу­чайное число r 1 =0,74): 74. 10, 88, 82. 22, 88, 57, 07, 40, 15, 25, 70; 62, 88, 08, 78, 73, 95, 16, 05, 92, 21, 22, 30.

Отв. а) x 1 = - 0,22, x 2 = - 0.10; 6) z 1 =1,34, z 2 =2,70.

Глава двадцать вторая

Из всех случайных величин проще всего разыгрывать (моделировать) равномерно распределенную величину . Рассмотрим, как это делается.

Возьмем какое-то устройство, на выходе которого с вероятностью могут появляться цифры 0 или 1; появление той или другой цифры должно быть случайным. Таким устройством может быть бросаемая монета, игральная кость (четно - 0, нечетно - 1) или специальный генератор, основанный на подсчете числа радиоактивных распадов или всплесков радиошума за определенное время (четно или нечетно).

Запишем у как двоичную дробь и на место последовательных разрядов будем ставить цифры, выдаваемые генератором: например, . Поскольку в первом разряде с равной вероятностью могут стоять 0 или 1, это число с равной вероятностью лежит в левой или правой половине отрезка . Поскольку во втором разряде тоже 0 и 1 равновероятны, число с равной вероятностью лежит в каждой половине этих половин и т. д. Значит, двоичная дробь со случайными цифрами действительно с равной вероятностью принимает любое значение на отрезке

Строго говоря, разыграть можно только конечное количество разрядов k. Поэтому распределение будет не вполне требуемым; математическое ожидание окажется меньше 1/2 на величину (ибо значение возможно, а значение невозможно). Чтобы этот фактор не сказывался, следует брать многоразрядные числа; правда, в методе статистических испытаний точность ответа обычно не бывает выше 0,1% -103, а условие дает что на современных ЭВМ перевыполнено с большим запасом.

Псевдослучайные числа. Реальные генераторы случайных чисел не свободны от систематических ошибок: несимметричность монеты, дрейф нуля и т. д. Поэтому качество выдаваемых ими чисел проверяют специальными тестами. Простейший тест - вычисление для каждого разряда частоты появления нуля; если частота заметно отлична от 1/2, то имеется систематическая ошибка, а если она слишком близка к 1/2, то числа не случайные - есть какая-то закономерность. Более сложные тесты - это вычисление коэффициентов корреляции последовательных чисел

или групп разрядов внутри числа; эти коэффициенты должны быть близкими к нулю.

Если какая-то последовательность чисел удовлетворяет этим тестам, то ее можно использовать в расчетах по методу статистических испытаний, не интересуясь ее происхождением.

Разработаны алгоритмы построения таких последовательностей; символически их записывают рекуррентными формулами

Такие числа называют псевдослучайными и вычисляют на ЭВМ. Это обычно удобнее, чем использование специальных генераторов. Но для каждого алгоритма есть свое предельное число членов последовательности, которое можно использовать в расчетах; при большем числе членов теряется случайный характер чисел, например - обнаруживается периодичность.

Первый алгоритм получения псевдослучайных чисел был предложен Нейманом. Возьмем число из цифр (для определенности десятичных) и возведем его в квадрат. У квадрата оставим средних цифр, откинув последних и (или ) первых. Полученное число снова возведем в квадрат и т. д. Значения получаются умножением этих чисел на Например, положим и выберем начальное число 46; тогда получим

Но распределение чисел Неймана недостаточно равномерно (преобладают значения что хорошо видно на приведенном примере), и сейчас их редко употребляют.

Наиболее употребителен сейчас несложный и неплохой алгоритм, связанный с выделением дробной части произведения

где А - очень большая константа (фигурная скобка обозначает дробную часть числа). Качество псевдослучайных чисел сильно зависит от выбора величины А: это число в двоичной записи должно иметь достаточно «случайный» хотя его последний разряд следует брать единицей. Величина слабо влияет на качество последовательности, но было отмечено, что некоторые значения оказываются неудачными.

При помощи экспериментов и теоретического анализа исследованы и рекомендуются такие значения: для БЭСМ-4; для БЭСМ-6. Для некоторых американских ЭВМ рекомендуются и эти цифры связаны с количеством разрядов в мантиссе и порядке числа, поэтому для каждого типа ЭВМ они свои.

Замечание 1. В принципе формулы типа (54) могут давать очень длинные хорошие последовательности, если записывать их в нерекуррентном виде и все умножения выполнять без округления. Обычное округление на ЭВМ ухудшает качество псевдослучайных чисел, но тем не менее до членов последовательности обычно годятся.

Замечание 2. Качество последовательности улучшается, если ввести в алгоритм (54) небольшие случайные возмущения; например, после нормализации числа полезно засылать в последние двоичные разряды его мантиссы двоичный порядок числа

Строго говоря, закономерность псевдослучайных чисел должна быть незаметна по отношению к требуемому частному применению. Поэтому в несложных или удачно сформулированных задачах можно использовать последовательности не очень хорошего качества, но при этом необходимы специальные проверки.

Произвольное распределение. Для разыгрывания случайной величины с неравномерным распределением можно воспользоваться формулой (52). Разыграем у и определим из равенства

Если интеграл берется в конечном виде и формула несложна, то это наиболее удобный способ. Для некоторых важных распределений - Гаусса, Пуассона - соответствующие интегралы не берутся и разработаны специальные способы разыгрывания.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ММ- 03

РАЗЫГРЫВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СВ

Цель работы: изучение и программная реализация методов разыгрывания дискретных и непрерывных СВ

ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ПО КОНСПЕКТУ ЛЕКЦИЙ:

1. Дискретные случайные величины и их характеристики.

2. Разыгрывание полной группы случайных событий.

3. Разыгрывание непрерывной случайной величины методом обратной функции.

4. Выбор случайного направления в пространстве.

5. Стандартное нормальное распределение и его пересчет для заданных параметров.

6. Метод полярных координат для разыгрывания нормального распределения.

ЗАДАЧА 1. Сформулировать (письменно) правило разыгрывания значений дискретной СВ, закон распределения которой задан в виде таблицы. Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания значений СВ с использованием БСВ, получаемых от подпрограммы ГСЧ. Разыграть 50 значений СВ и вывести их на экран.

Где N – номер варианта.

ЗАДАЧА 2. Дана функция плотности распределения f(x) непрерывной случайной величины X.

В отчете записать формулы и вычисление следующих величин:

А) константу нормировки;

Б) функцию распределения F(x);

В) математическое ожидание M(X);

Г) дисперсию D(X);

Д) формулу для разыгрывания значений СВ по методу обратной функции.

Составить подпрограмму-функцию для разыгрывания заданной СВ и получить 1000 значений этой СВ.

Построить гистограмму распределения полученных чисел по 20 отрезкам.

ЗАДАЧА 3. Составить процедуру, позволяющую разыграть параметры случайного направления в пространстве. Разыграть 100 случайных направлений в пространстве.

Использовать встроенный датчик псевдослучайных чисел.

Письменный отчет по лабораторной работе должен содержать:

1) Название и цель работы, группу, фамилию и номер варианта студента;

2) По каждой задаче: -условие, -необходимые формулы и математические преобразования, -имя программного файла, реализующего используемый алгоритм, -результаты вычислений.

Отлаженные программные файлы сдаются вместе с письменным отчетом.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианты плотности распределения непрерывной СВ

Вар-т	Плотность распределения СВ	Вар-т	Плотность распределения СВ

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину X, т.е. получить последовательность ее возможных значений (i=1, 2, ..., n), зная функцию распределения F(x).

Теорема. Если - случайное число, то возможное значение разыгрываемой непрерывной случайной величины X с заданной функцией распределения F (х), соответствующее , является корнем уравнения .

Правило 1. Для того чтобы найти возможное значение , непрерывной случайной величины X, зная ее функцию распределения F (х), надо выбрать случайное число , приравнять его функции распределения и решить относительно полученное уравнение .

Замечание 1. Если решить это уравнение в явном виде не удается, то прибегают к графическим или численным методам.

Пример 1. Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 10).

Решение: Напишем функцию распределения величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b): .

По условию, а=2, b=10, следовательно, .

Используя правило 1, напишем уравнение для отыскания возможных значений , для чего приравняем функцию распределения случайному числу:

Отсюда .

Выберем 3 случайных числа, например, , , . Подставим эти числа в уравнение, разрешенное относительно ; в итоге получим соответствующие возможные значения X: ; ; .

Пример 2. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному функцией распределения (параметр известен) (х >0). Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Используя правило, напишем уравнение .

Решим это уравнение относительно : , или .

Случайное число заключено в интервале (0, 1); следовательно, число - также случайное и принадлежит интервалу (0,1). Другими словами, величины R и 1-R распределены одинаково. Поэтому для отыскания можно воспользоваться более простой формулой .

Замечание 2. Известно, что .

В частности, .

Отсюда следует, что если известна плотность вероятности , то для разыгрывания X можно вместо уравнений решить относительно уравнение .

Правило 2. Для того чтобы найти возможное значение непрерывной случайной величины X, зная ее плотность вероятности , надо выбрать случайное число и решить относительно уравнение или уравнение , где а - наименьшее конечное возможное значение X.

Пример 3. Задана плотность вероятности непрерывной случайной величины X в интервале ; вне этого интервала . Требуется найти явную формулу для разыгрывания возможных значений X.

Решение: Напишем в соответствии с правилом 2 уравнение .

Выполнив интегрирование и решив полученное квадратное уравнение относительно , окончательно получим .

18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины

Напомним предварительно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Составим сумму n независимых, распределенных равномерно в интервале (0, 1) случайных величин : .

Для нормирования этой суммы найдем предварительно ее математическое ожидание и дисперсию.

Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма содержит n слагаемых, математическое ожидание каждого из которых в силу М(R)=1/2 равно 1/2; следовательно, математическое ожидание суммы

Известно, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых. Сумма содержит n независимых слагаемых, дисперсия каждого из которых в силу D(R)=1/12 равна 1/12; следовательно, дисперсия суммы

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы

Пронормируем рассматриваемую сумму, для чего вычтем математическое ожидание и разделим результат на среднее квадратическое отклонение: .

В силу центральной предельной теоремы при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному с параметрами а=0 и . При конечном n распределение приближенно нормальное. В частности, при n=12 получим достаточно хорошее и удобное для расчета приближение .

Оценки удовлетворительные: близко к нулю, мало отличается от единицы.

Список использованных источников

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:Высшая школа, 2001.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2001.

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003.

5. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. – М.: Высшая школа, 1994.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.

5.2.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х , т.е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2,...). При этом функция распределения F(X) известна.

Существует следующая теорема .

Если r i - случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F(X) соответствующее r i , является корнем уравнения

Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:

1. Необходимо выбрать случайное число r i .

2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение .

3. Решить данное уравнение относительно x i . Полученное значение x i будет соответствовать одновременно и случайному числу r i . и заданному закону распределения F(X).

Пример5.2.

Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х , распределенной равномерно в интервале (2; 10).

Решение

Функция распределения величины Х имеет следующий вид:

По условию, a = 2, b = 10, следовательно,

В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины приравняем F(X) выбранному случайному числу r i .. Получим отсюда:

(5.3)

Подставим эти числа в уравнение (5.3).Получим соответствующие возможные значения х :

Пример 5.3

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с известной функцией

(x>0, параметр > 0 известен)

Требуется найти формулу для разыгрывания возможных значений Х .

Решение

В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины получим уравнение

Решим это уравнение относительно x i . Получим:

Случайное число r i находится в интервале (0, 1). Следовательно число (1- r i ) также случайное и принадлежит интервалу (0, 1). То есть случайные величины R и 1 - R распределены одинаково, т.е. равномерно в одном и том же интервале (0, 1). Поэтому для отыскания значения x i можно воспользоваться более простой формулой:

5.2.3. Разыгрывание случайной величины X, распределенной нормально

Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия D(R) = 1/12.

Составим сумму n независимых случайных величин R j (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим .

Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма R i содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равна 1/2. Следовательно математическое ожидание суммы равно:

;

Аналогично для дисперсии суммы R j получим:

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы R j :

Теперь пронормируем сумму R j .

Для этого вычтем из суммы R j математическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы R j . Получим

(то есть )

На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и = 1.

При конечном n распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение

Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное значение x i нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и = 1, нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6.

Пример 5.4.

1. Разыграть 100 возможных значений случайной величины Х распределенной нормально с параметрами a = 0 и = 1.

2. Оценить параметры разыгранной случайной величины Х .

Решение

1. Выберем 12 случайных чисел распределенных равномерно в интервале (0, 1) из таблицы случайных чисел, либо из компьютера. Сложим эти числа и из суммы вычтем 6, в итоге получим:

Поступая аналогичным образом найдем остальные возможные значения .

2. Выполнив необходимые расчеты найдем выборочную среднюю, которая является оценкой и выборочное среднее квадратическое отклонение, которое является оценкой . Получим:

Как видим, оценки удовлетворительны, т.е. близко к нулю, а близко к единице.

Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием отличным от нуля и отличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значения x i нормированной случайной величины, а затем находят искомое значение по формуле

которая получена из соотношения:

Таблица 5.1

Формулы для моделирования случайных величин