Свойства функций непрерывных на отрезке. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.
СодержаниеСм. также: Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы
Определения и теоремы
Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a
и b
,
соответственно.
Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.Доказательство
Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
,
то .
Если ,
то .
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция .
На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и ,
принадлежащие ,
значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: ,
а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.
Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.
Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.Доказательство
Эта теорема означает, что существуют такие точки и ,
принадлежащие отрезку :
,
значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку ,
то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .
Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой.
непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения.
На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума
функции. На правом рисунке - на концах отрезка. Если функция y
= f
(x
)
непрерывна на отрезке [a
, b
]
,
то она достигает на этом отрезке наименьшего
и наибольшего значений
. Это, как
уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума
, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего
и наибольшего значений функции
,
непрерывной на отрезке [a
, b
]
, нужно
вычислить её значения во всех критических точках
и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее
и наибольшее. Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции
f
(x
)
на отрезке [a
, b
]
.
Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a
, b
]
. Критической точкой
называется точка, в которой
функция определена
, а её
производная
либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических
точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и
на концах отрезка (f
(a
)
и f
(b
)
).
Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке
[a
, b
]
. Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений
функции
. Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 2]
. Решение. Находим производную данной функции .
Приравняем производную нулю ()
и получим две критические точки: и
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на
концах отрезка и в точке ,
так как точка не
принадлежит отрезку [-1, 2]
. Эти значения функции - следующие: ,
,
. Из этого следует, что
наименьшее значение функции
(на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке
, а наибольшее
(тоже
красное на графике), равно 9,
- в критической точке . Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком
(а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок),
то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая
на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[
и не имеет
наибольшего значения. Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо
следующее свойство непрерывных функций. Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных
. Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
[-1, 3]
. Решение. Находим производную данной функции как производную частного: . Приравниваем производную нулю,
что даёт нам одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку [-1, 3]
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13,
в точке и наибольшего
значения
, равного 1, в точке
. Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции
не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция -
многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами,
поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных).
Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция. Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
. Решение. Находим производную данной функции как производную произведения
: Приравниваем производную нулю, что даёт
одну критическую точку: .
Она принадлежит отрезку
. Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения
, равного 0,
в точке и в точке
и наибольшего
значения
, равного e
²
, в точке
. Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных
. Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
на отрезке
. Решение. Находим производную данной функции: Приравниваем производную нулю: Единственная критическая точку
принадлежит отрезку . Для нахождения
наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на
концах отрезка и в найденной критической точке: Вывод: функция достигает наименьшего значения
, равного ,
в точке и наибольшего
значения
, равного , в точке
. В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений
функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют
не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении
прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое
явление или процесс. Пример 10.
Резервуар ёмкостью 4 ,
имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы
должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала? Решение. Пусть x
- сторона основания, h
- высота резервуара,
S
- площадь его поверхности без крышки, V
- его объём. Площадь поверхности резервуара
выражается формулой ,
т.е. является функцией двух переменных .
Чтобы выразить S
как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что ,
откуда . Подставив
найденное выражение h
в формулу для S
: Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в
]0, +∞[
, причём . Приравниваем производную нулю ()
и находим критическую точку . Кроме того,
при производная не
существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума.
Итак, - единственная
критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём
вторую производную .
При вторая производная
больше нуля (). Значит, при
функция достигает
минимума . Поскольку
этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением
. Итак,
сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота . Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться Определение
3
.
3
Пусть --
некоторая функция, --
её область определения и --
некоторый (открытый) интервал (может
быть, с и/или ) 7
.
Назовём функцию непрерывной
на интервале
,
если непрерывна
в любой точке ,
то есть для любого существует (в
сокращённой записи:
Пусть
теперь --
(замкнутый) отрезок в .
Назовём функцию непрерывной
на отрезке
,
если непрерывна
на интервале ,
непрерывна справа в точке и
непрерывна слева в точке ,
то есть
Пример
3
.
13
Рассмотрим функцию (функция
Хевисайда
) на
отрезке , .
Тогда непрерывна
на отрезке (несмотря
на то, что в точке она
имеет разрыв первого рода). Рис.3.15.График
функции Хевисайда Аналогичное
определение можно дать и для полуинтервалов
вида и ,
включая случаи и .
Однако можно обобщить данное определение
на случай произвольного подмножества следующим
образом. Введём сначала
понятие индуцированной
на базы:
пусть --
база, все окончания которой
имеют непустые пересечения с .
Обозначим через и
рассмотрим множество всех .
Нетрудно тогда проверить, что
множество будет
базой. Тем самым для определены
базы , и ,
где , и --
базы непроколотых двусторонних
(соответственно левых, правых) окрестностей
точки (их
определение см. в начале текущей главы). Определение
3
.
4
Назовём функцию непрерывной
на множестве
,
если
Нетрудно
видеть, что тогда при и
при это
определение совпадает с теми, что были
выше даны специально для интервала и
отрезка. Напомним,
что все элементарные функции непрерывны
во всех точках своих областей определения
и, следовательно, непрерывны на любых
интервалах и отрезках, лежащих в их
областях определения. Поскольку
непрерывность на интервале и отрезке
определяется поточечно, имеет место
теорема, которая является непосредственным
следствием теоремы
3.1: Теорема
3
.
5
Пусть
и
--
функции и
--
интервал или отрезок, лежащий в
.
Пусть
и
непрерывны
на
.
Тогда функции
,
,
непpеpывны
на
.
Если вдобавок
пpи
всех
,
то функция
также
непpеpывна на
.
Из
этой теоpемы вытекает следующее
утвеpждение, точно так же, как из
теоpемы 3.1 --
пpедложение 3.3: Предложение
3
.
4
Множество
всех
функций, непpеpывных на интеpвале или
отpезке
--
это линейное пpостpанство:
Более
сложное свойство непрерывной функции
выражает следующая теорема. Теорема
3
.
6
(о
корне непрерывной функции) Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
,
причём
и
--
числа разных знаков. (Будем для
определённости считать, что
,
а
.)
Тогда существует хотя бы одно такое
значение
,
что
(то
есть существует хотя бы один
корень
уравнения
).
Доказательство
.
Рассмотрим середину отрезка .
Тогда либо ,
либо ,
либо .
В первом случае корень найден: это .
В остальных двух случаях рассмотрим ту
часть отрезка, на концах которой
функция принимает
значения разных знаков: в
случае или в
случае .
Выбранную половину отрезка обозначим
через и
применим к ней ту же процедуру: разделим
на две половины и ,
где ,
и найдём .
В случае корень
найден; в случае рассматриваем
далее отрезок ,
в случае --
отрезок и
т. д. Рис.3.16.Последовательные
деления отрезка пополам Получаем,
что либо на некотором шаге будет найден
корень ,
либо будет построена система вложенных
отрезков в
которой каждый следующий отрезок вдвое
короче предыдущего. Последовательность --
неубывающая и ограниченная сверху
(например, числом );
следовательно (по теореме
2.13),
она имеет предел .
Последовательность --
невозрастающая и ограниченная снизу
(например, числом );
значит, существует предел .
Поскольку длины отрезков образуют
убывающую геометрическую прогрессию
(со знаменателем ),
то они стремятся к 0, и ,
то есть .
Положим теперь .
Тогда и поскольку
функция непрерывна.
Однако, по построению
последовательностей и , и ,
так что, по теореме о переходе к пределу
в неравенстве (теорема 2.7), и ,
то есть и .
Значит, ,
и --
корень уравнения . Пример
3
.
14
Рассмотрим функцию на
отрезке .
Поскольку и --
числа разных знаков, то функция обращается
в 0 в некоторой точке интервала .
Это означает, что уравнение имеет
корень . Рис.3.17.Графическое
представление корня уравнения Доказанная теорема фактически
даёт нам способ нахождения корня ,
хотя бы приближённого, с любой заданной
наперёд степенью точности. Это --
метод деления отрезка пополам, описанный
при доказательстве теоремы. Более
подробно с этим и другими, более
эффективными, способами приближённого
нахождения корня мы познакомимся ниже,
после того, как изучим понятие и свойства
производной. Заметим, что теорема не
утверждает, что если её условия выполнены,
то корень --
единственный. Как показывает следующий
рисунок, корней может быть и больше
одного (на рисунке их 3). Рис.3.18.Несколько
корней функции, принимающей значения
разных знаков в концах отрезка Однако, если функция монотонно
возрастает или монотонно убывает на
отрезке, в концах которого принимает
значения разных знаков, то корень --
единственный, так как строго монотонная
функция каждое своё значение принимает
ровно в одной точке, в том числе и значение
0. Рис.3.19.Монотонная
функция не может иметь более одного
корня Непосредственным
следствием теоремы о корне непрерывной
функции является следующая теорема,
которая и сама по себе имеет очень важное
значение в математическом анализе. Теорема
3
.
7
(о
промежуточном значении непрерывной
функции) Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
и
(будем
для определённости считать, что
).
Пусть
--
некоторое число, лежащее между
и
.
Тогда существует такая точка
,
что
.
Рис.3.20.Непрерывная
функция принимает любое промежуточное
значение Доказательство
.
Рассмотрим вспомогательную функцию ,
где .
Тогда и .
Функция ,
очевидно, непрерывна, и по предыдущей
теореме существует такая точка ,
что .
Но это равенство означает, что . Заметим,
что если функция не является непрерывной,
то она может принимать не все промежуточные
значения. Например, функция
Хевисайда (см. пример
3.13) принимает
значения , ,
но нигде, в том числе и на интервале ,
не принимает, скажем, промежуточного
значения .
Дело в том, что функция Хевисайда имеет
разрыв в точке ,
лежащей как раз в интервале . Для
дальнейшего изучения свойств функций,
непрерывных на отрезке, нам понадобится
следующее тонкое свойство системы
вещественных чисел (мы уже упоминали
его в главе 2 в связи с теоремой о пределе
монотонно возрастающей ограниченной
функции): для любого ограниченного снизу
множества (то
есть такого, что при
всех и
некотором ;
число называется нижней
гранью
множества )
имеется точная
нижняя грань
,
то есть наибольшее из чисел ,
таких что при
всех .
Аналогично, если множество ограничено
сверху, то оно имеет точную
верхнюю грань
:
это наименьшая из верхних
граней
(для
которых при
всех ). Рис.3.21.Нижняя
и верхняя грани ограниченного множества Если ,
то существует невозрастающая
последовательность точек ,
которая стремится к .
Точно так же если ,
то существует неубывающая последовательность
точек ,
которая стремится к . Если
точка принадлежит
множеству ,
то является
наименьшим элементом этого множества: ;
аналогично, если ,
то . Кроме
того, для дальнейшего нам понадобится
следующая Лемма
3
.
1
Пусть
--
непрерывная функция на отрезке
,
и множество
тех
точек
,
в которых
(или
,
или
)
не пусто. Тогда в множестве
имеется
наименьшее значение
,
такое что
при
всех
.
Рис.3.22.Наименьший
аргумент, при котором функция принимает
заданное значение Доказательство
.
Поскольку --
ограниченное множество (это часть
отрезка ),
то оно имеет точную нижнюю грань .
Тогда существует невозрастающая
последовательность , ,
такая что при .
При этом ,
по определению множества .
Поэтому, переходя к пределу, получаем,
с одной стороны, а
с другой стороны, вследствие непрерывности
функции , Значит, ,
так что точка принадлежит
множеству и . В
случае, когда множество задано
неравенством ,
мы имеем при
всех и
по теореме о переходе к пределу в
неравенстве получаем откуда ,
что означает, что и .
Точно так же в случае неравенства переход
к пределу в неравенстве даёт откуда , и . Теорема
3
.
8
(об
ограниченности непрерывной функции)
Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
.
Тогда
ограничена
на
,
то есть существует такая постоянная
,
что
при
всех
.
Рис.3.23.Непрерывная
на отрезке функция ограничена Доказательство
.
Предположим обратное: пусть не
ограничена, например, сверху. Тогда все
множества , , ,
не пусты. По предыдущей лемме в каждом
из этих множеств имеется
наименьшее значение , .
Покажем, что Действительно, .
Если какая-либо точка из ,
например ,
лежит между и ,
то то
есть --
промежуточное значение между и .
Значит, по теореме о промежуточном
значении непрерывной функции, существует
точка ,
такая что ,
и .
Но ,
вопреки предположению о том, что --
наименьшее значение из множества .
Отсюда следует, что при
всех . Точно
так же далее доказывается, что при
всех , при
всех ,
и т. д. Итак, --
возрастающая последовательность,
ограниченная сверху числом .
Поэтому существует .
Из непрерывности функции следует,
что существует ,
но при ,
так что предела не существует. Полученное
противоречие доказывает, что
функция ограничена
сверху. Аналогично
доказывается, что ограничена
снизу, откуда следует утверждение
теоремы. Очевидно,
что ослабить условия теоремы нельзя:
если функция не является непрерывной,
то она не обязана быть ограниченной на
отрезке (приведём в качестве примера
функцию на
отрезке .
Эта функция не ограничена на отрезке,
так как при имеет
точку разрыва второго рода, такую
что при .
Также нельзя заменить в условии теоремы
отрезок интервалом или полуинтервалом:
в качестве примера рассмотрим ту же
функцию на
полуинтервале .
Функция непрерывна на этом полуинтервале,
но неограничена, вследствие того
что при . Поиск
наилучших постоянных, которыми можно
ограничить функцию сверху и снизу на
заданном отрезке, естественным образом
приводит нас к задаче об отыскании
минимума и максимума непрерывной функции
на этом отрезке. Возможность решения
этой задачи описывается следующей
теоремой. Теорема
3
.
9
(о
достижении экстремума непрерывной
функцией) Пусть
функция
непрерывна
на отрезке
.
Тогда существует точка
,
такая что
при
всех
(то
есть
--
точка минимума:
),
и существует точка
,
такая что
при
всех
(то
есть
--
точка максимума:
).
Иными словами, минимальное и
максимальное
8
значения
непрерывной функции на отрезке существуют
и достигаются в некоторых точках
и
этого
отрезка.
Рис.3.24.Непрерывная
на отрезке функция достигает максимума
и минимума Доказательство
.
Так как по предыдущей теореме
функция ограничена
на сверху,
то существует точная верхняя грань
значений функции на --
число .
Тем самым, множества , ,..., ,...,
не пусты, и по предыдущей лемме в них
есть наименьшие значения : , .
Эти не
убывают (доказывается это утверждение
точно так же, как в предыдущей теореме): и
ограничены сверху числом .
Поэтому, по теореме о пределе монотонной
ограниченной последовательности,
существует предел Так
как ,
то и по
теореме о переходе к пределу в неравенстве,
то есть .
Но при всех ,
и в том числе .
Отсюда получается, что ,
то есть максимум функции достигается
в точке . Аналогично
доказывается существование точки
минимума. В
этой теореме, как и в предыдущей, нельзя
ослабить условия: если функция не
является непрерывной, то она может не
достигать своего максимального или
минимального значения на отрезке, даже
будучи ограниченной. Для примера возьмём
функцию на
отрезке .
Эта функция ограничена на отрезке
(очевидно, что )
и ,
однако значение 1 она не принимает
ни в одной точке отрезка (заметим, что ,
а не 1). Дело в том, что эта функция имеет
разрыв первого рода в точке ,
так что при предел не
равен значению функции в точке 0.
Далее, непрерывная функция, заданная
на интервале или другом множестве, не
являющемся замкнутым отрезком (на
полуинтервале, полуоси) также может не
принимать экстремального значения. В
качестве примера рассмотрим функцию на
интервале .
Очевидно, что функция непрерывна и
что и ,
однако ни значения 0, ни значения 1
функция не принимает ни в какой точке
интервала .
Рассмотрим также функцию на
полуоси .
Эта функция непрерывна на ,
возрастает, принимает своё минимальное
значение 0 в точке ,
но не принимает ни в какой точке
максимального значения (хотя ограничена
сверху числом и Непрерывность функции на отрезке.
Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают ее непрерывность на разных промежутках. Функция f (x) называется непрерывной на интервале (a , b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b . Функция
называется
непрерывной на отрезке
, если она является непрерывной в интервале
, непрерывной справа в точке
, то есть
и непрерывной слева в точке
, то есть
.
Замечание.
Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1) Множество функций, непрерывных на отрезке [ a , b ] обозначается символом C [ a , b ]. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Теорема 1
( об ограниченности непрерывной функции ).
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что "
x О
[ a , b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C .
Наибольшее значение M обозначается символом max x О
[ a , b ]
f (x), а наименьшее значение m — символом min x О
[ a , b ]
f (x).Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе
Теорема 2
(Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m , т.е. существуют точки α , β О
[ a , b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О
[ a , b ] (рис.2).
Теорема 3
(о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a , b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX
(рис.3).
называемый методом бисекции (дихотомии) , или методом половинного деления.
f (x) = 0,
(1)
Теорема 4
(Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она принимает на (a , b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).
Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a , b ]. Тогда на отрезке [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) cуществует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α , β).